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Optimierungsaufgaben Analysis Essay

Die konvexe Optimierung ist ein Teilgebiet der mathematischen Optimierung.

Es ist eine bestimmte Größe zu minimieren, die sogenannte Zielfunktion, welche von einem Parameter, welcher mit bezeichnet wird, abhängt. Außerdem sind bestimmte Nebenbedingungen einzuhalten, das heißt, die Werte , die man wählen darf, sind gewissen Einschränkungen unterworfen. Diese sind meist in Form von Gleichungen und Ungleichungen gegeben. Sind für einen Wert alle Nebenbedingungen eingehalten, so sagt man, dass zulässig ist. Man spricht von einem konvexen Optimierungsproblem oder einem konvexen Programm, falls sowohl die Zielfunktion als auch die Menge der zulässigen Punkte konvex ist. Viele Probleme der Praxis sind konvexer Natur. Oft wird zum Beispiel auf Quadern optimiert, welche stets konvex sind, und als Zielfunktion finden oft quadratische Formen wie in der quadratischen Optimierung Verwendung, die unter bestimmten Voraussetzungen ebenfalls konvex sind (siehe Definitheit). Ein anderer wichtiger Spezialfall ist die Lineare Optimierung, bei der eine lineare Zielfunktion über einem konvexen Polyeder optimiert wird.

Eine wichtige Eigenschaft der konvexen Optimierung im Unterschied zur nicht-konvexen Optimierung ist, dass jedes lokale Optimum auch ein globales Optimum ist. Anschaulich bedeutet dies, dass eine Lösung, die mindestens so gut ist wie alle anderen Lösungen in einer Umgebung, auch mindestens so gut ist wie alle zulässigen Lösungen. Dies erlaubt es, einfach nach lokalen Optima zu suchen.

Problemstellung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es gibt viele mögliche Formulierungen eines konvexen Programms. Eines der am häufigsten verwendeten und mathematisch am leichtesten handhabbaren ist

Der Eingabeparameter sei aus dem , das heißt, das Problem hängt von Einflussparametern ab. Die Zielfunktion sei konvex auf ihrem Definitionsbereich, genauso wie die Ungleichungsrestriktionen . Die sind auf ganz definierte affine Funktionen der Form . Die Menge

heißt dann die Definitionsmenge des konvexen Programms. Sie ist die größte Menge, auf der alle Funktionen definiert und konvex sind. Außerdem ist sie als Schnitt konvexer Mengen auch konvex. Die Funktionen stellen die sogenannten Ungleichungsnebenbedingungen und die Funktionen stellen die sogenannten Gleichungsnebenbedingungen dar. Die Funktion heißt die Zielfunktion und die Menge

die Restriktionsmenge des Problems. Sie ist eine konvexe Menge, da Subniveaumengen konvexer Funktionen wieder konvex sind.

Varianten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Konkave Zielfunktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Meist werden auch Probleme der Form „Maximiere unter konvexen Nebenbedingungen“ als konvexe Probleme bezeichnet, wenn eine konkave Funktion ist. Dieses Problem ist äquivalent (nicht identisch) mit dem obigen Problem in dem Sinne, dass jeder Optimalpunkt des konkaven Problems auch ein Optimalpunkt des konvexen Problems ist, welches durch „minimiere unter konvexen Nebenbedingungen“ entsteht. Die Optimalwerte stimmen aber im Allgemeinen nicht überein.

Abstraktes konvexes Optimierungsproblem[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Manchmal werden Probleme der Form

als abstraktes konvexes Optimierungsproblem bezeichnet. Sie besitzen dieselben Lösbarkeitseigenschaften wie das obige Problem, sind aber mathematisch schwerer zu handhaben, da Kriterien wie algorithmisch schwer greifbar sind. Meist werden dann Funktionen gesucht, welche die abstrakte Nebenbedingung mittels Ungleichungen beschreiben, um das abstrakte Problem somit auf das obige Problem zurückführen. Umgekehrt kann aber auch jedes konvexe Problem als ein abstraktes konvexes Problem der Form "minimiere unter der Nebenbedingung " formuliert werden. Hierbei ist die Restriktionsmenge.

Mischformen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die allgemeinste Form eines konvexen Problems besteht aus einer Mischform, die sowohl Ungleichungsrestriktionen, Gleichungsrestriktionen als auch abstrakte Nebenbedingungen verwendet. Aus den oben beschriebenen Gründen ist diese Form jedoch unpraktisch zu handhaben.

Lösbarkeit aus theoretischer Sicht[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Abstrakte konvexe Probleme zeichnen sich durch einige starke Eigenschaften aus, die das Auffinden von globalen Minima erleichtern:

Da jede Formulierung eines konvexen Problems in ein abstraktes Problem umgewandelt werden kann, übertragen sich alle diese Eigenschaften auf jede Formulierung des Problems.

Geschichte[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Disziplin der konvexen Optimierung entstand unter anderem aus der konvexen Analysis. Die erste Optimierungs-Technik, welche als Gradientenverfahren bekannt ist, geht auf Gauß zurück. Im Jahre 1947 wurde das Simplex-Verfahren durch George Dantzig eingeführt. Des Weiteren wurden im Jahr 1968 erstmals Innere-Punkte-Verfahren durch Fiacco und McCormick vorgestellt. In den Jahren 1976 und 1977 wurde die Ellipsoid-Methode von David Yudin und Arkadi Nemirovski und unabhängig davon von Naum Schor zur Lösung konvexer Optimierungsprobleme entwickelt. Narendra Karmarkar beschrieb im Jahr 1984 zum ersten Mal einen polynomialen potentiell praktisch einsetzbaren Algorithmus für lineare Probleme. Im Jahr 1994 entwickelten Arkadi Nemirovski und Yurii Nesterov Innere-Punkte-Verfahren für die konvexe Optimierung, welche große Klassen von konvexen Optimierungsproblemen in polynomialer Zeit lösen konnten.

Bei den Karush-Kuhn-Tucker-Bedingungen wurden die notwendigen Bedingungen für die Ungleichheits-Einschränkung zum ersten Mal 1939 in der Master-Arbeit (unveröffentlicht) von William Karush aufgeführt. Bekannter wurden diese jedoch erst 1951 nach einem Konferenz-Paper von Harold W. Kuhn und Albert W. Tucker.

Vor 1990 lag die Anwendung der konvexen Optimierung hauptsächlich im Operations Research und weniger im Bereich der Ingenieure. Seit 1990 boten sich jedoch immer mehr Anwendungsmöglichkeiten in der Ingenieurwissenschaft. Hier lässt sich unter anderem die Kontroll- und Signal-Steuerung, die Kommunikation und der Schaltungsentwurf nennen. Außerdem entstanden neue Problemklassen wie semidefinite und Kegel-Optimierung 2. Ordnung und robuste Optimierung.

Beispiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Als Beispiel wird ein eindimensionales Problem ohne Gleichungsnebenbedingungen und mit nur einer Ungleichungsnebenbedingung betrachtet:

Minimiere

mit

unter der Nebenbedingung:

Der zulässige Bereich ist gegeben durch die konvexe Menge

,

denn für Werte ist nicht erfüllt. Der Zeichnung kann entnommen werden, dass für den Optimalwert annimmt.

Klassifikation und Verallgemeinerungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die konvexe Optimierung enthält weitere Klassen von Optimierungsproblemen, die sich alle durch eine spezielle Struktur auszeichnen:

Außerdem wird unterschieden, ob die verwendeten Funktionen stetig differenzierbar sind oder nicht.

Unter gewissen Voraussetzungen fallen noch folgende Problemklassen unter die konvexe Optimierung:

Verallgemeinerungen, die noch einige Eigenschaften einer konvexen Funktion erhalten, machen gewisse erweiterte Begriffe der konvexen Optimierung möglich.

für eine konvexe Funktion und eine passend dimensionierte Matrix und einen Vektor . Da auch die Subniveaumengen einer K-konvexen Funktion konvex sind, liefert dies auch wieder ein abstraktes konvexes Optimierungsproblem.

Optimalitätsbedingungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für konvexe Probleme gibt es einige wichtige Optimalitätskriterien. Zuerst werden die notwendigen Kriterien beschrieben, das heißt, wenn ein Optimum erreicht wird, dann sind diese Kriterien erfüllt. Danach die hinreichenden Kriterien, das heißt, wenn diese Kriterien in einem Punkt erfüllt sind, dann handelt es sich um einen Optimalpunkt.

Notwendige Kriterien[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Karush-Kuhn-Tucker-Bedingungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hauptartikel: Karush-Kuhn-Tucker-Bedingungen

Die Karush-Kuhn-Tucker-Bedingungen (auch bekannt als die KKT-Bedingungen) sind eine Verallgemeinerung der Lagrange-Multiplikatoren von Optimierungsproblemen unter Nebenbedingungen und finden in der fortgeschrittenen neoklassischen Theorie Anwendung. Ein zulässiger Punkt des konvexen Problem erfüllt die KKT-Bedingungen, wenn gilt

Diese Bedingungen werden die Karush-Kuhn-Tucker-Bedingungen oder kurz KKT-Bedingungen genannt.

Ein Punkt heißt dann Karush-Kuhn-Tucker-Punkt oder kurz KKT-Punkt des obigen Optimierungsproblems, wenn er die obigen Bedingungen erfüllt.

Das eigentliche notwendige Optimalitätskriterium lautet nun: Ist ein Punkt ein lokales (und aufgrund der Konvexität auch globales) Minimum des konvexen Problems, und erfüllt er gewisse Regularitätsvoraussetzungen, so gibt es

Abstract

The analysis of short-term growth needs repetitive measurements of body stature or of segments of the body. When body stature is measured at monthly intervals, an irregular incremental pattern becomes obvious with a number of large-scale components such as series of prepubertal and pubertal growth spurts, seasonal influences on height gain, and influences of the psychosocial and economic background. When measurement intervals decrease, incremental patterns appear even more irregular, and a number of short-scale components become apparent that are distinct from measurement error. The review summarizes the analysis of short-term growth, and presents the current findings supporting different views on how growth progresses at short term. In particular, observations are presented that suggest growth being a pulsatile, a periodic, a saltatory, and a chaotic event. Some recent animal studies and studies in human newborns are added in detail as they illustrate short-term growth on the basis of accurate 24-hour measurements of the lower leg. The latter investigations support the idea of short-term growth being characterized by chaotic series of ‘mini growth spurts’ that occur at intervals of approximately 4–5 days, not only in human neonates, but also in rats. The amplitude of mini growth spurts ranges between 2 and some 10 mm, and growth velocity of each spurt also varies considerably so that one spurt needs between less than 1 and up to several days for completion.


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